Ευκλείδης, γιατί θεωρείται ο Πατέρας της Γεωμετρίας

Σύνταξη άρθρου: Συντάκτες του άρθρου είναι οι μαθητές της Γ΄τάξης του 9^ου Γυμνασίου Νίκαιας, Αθανάσιος-Παναγιώτης Αναστόπουλος, Σοφία-Παναγιώτα Αναστοπούλου, Άγγελος Δασκαλάκης, Ευτυχία-Φανουρία Δούφα, κατά το σχολικό έτος 2018-2019. Κατά την παρούσα σχολική χρονιά, της έκδοσης του άρθρου, είναι μαθητές της Α΄τάξης του Λυκείου. *Τάσσος Κυρίκος

Επιμέλεια άρθρου: Κωνσταντίνος Ουρανός

 

Ο Ευκλείδης ήταν Έλληνας μαθηματικός που έζησε σε αυτήν την τόσο σπουδαία για την επιστήμη Ελληνιστική εποχή. Γεννήθηκε περίπου το 330 π.Χ. και πέθανε το 275 π.Χ. ή το 270 π.Χ. . Για τη ζωή του Ευκλείδη ελάχιστα είναι γνωστά και από αυτά λίγα είναι εξακριβωμένα.

Ορισμένοι αναφέρουν ότι γεννήθηκε στη Σικελία και άλλοι στην Τύρο. Σπούδασε στην Αθήνα, στην Ακαδημία του Πλάτωνα, όπου και διακρίθηκε για τις μαθηματικές του εργασίες. Για τον λόγο αυτό ο βασιλιάς της Αιγύπτου Πτολεμαίος Α΄ τον προσκάλεσε στην Αλεξάνδρεια, για να διδάξει Αριθμητική και Γεωμετρία στο ονομαστό εκπαιδευτικό ίδρυμα, που λεγόταν «Μουσείον». Το έργο του μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο Ευκλείδης ήταν εξαιρετικός δάσκαλος. Παρουσίασε τις αρχές των μαθηματικών με τέτοιον τρόπο, ώστε να είναι κατανοητές από τους σύγχρονούς του και τους μεταγενέστερους μαθητές- μελετητές. Το μεγαλύτερο μέρος του έργου του δεν ήταν πρωτότυπο, αλλά περιείχε εργασίες προγενέστερων μαθηματικών, τις οποίες όμως συστηματοποίησε κατά τρόπο επιστημονικό.

Λέγεται, χωρίς να είναι απόλυτα εξακριβωμένο, ότι όταν ο Πτολεμαίος του ζήτησε ένα πιο εύκολο τρόπο για να μάθει Γεωμετρία, ο Ευκλείδης του απάντησε ότι «δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία».

Πίστευε ότι η μελέτη των μαθηματικών πρέπει να έχει ως στόχο τη γνώση και όχι το υλικό κέρδος. Στο «Ανθολόγιον» του Στοβαίου αναφέρεται ότι, όταν κάποιος μαθητής του τον ρώτησε τι θα κερδίσει, αν μάθει Γεωμετρία, ο Ευκλείδης ζήτησε από τον υπηρέτη του να δώσει στον μαθητή του τρεις οβολούς γιατί έχει ανάγκη να κερδίζει κάτι από ό,τι μαθαίνει.

Ο Ευκλείδης είναι γνωστός ως ο πατέρας της Γεωμετρίας καθώς είναι ο πρώτος που έδωσε στη Γεωμετρία μια ανυπέρβλητη λογική αυστηρότητα με την εισαγωγή της αξιωματικής μεθόδου (βασική αρχή κατασκευής μιας αποδεικτικής επιστήμης).

Τι είναι η αξιωματική μέθοδος;

Η αξιωματική μέθοδος είναι ένας τρόπος για να κατασκευάσουμε μια επιστημονική θεωρία.

1. Αρχικά εισάγονται, χωρίς ορισμούς, κάποιες έννοιες που προκύπτουν άμεσα από την εμπειρία μας και λέγονται πρωταρχικές ή αρχικές έννοιες. Οι αρχικές έννοιες για τη Γεωμετρία είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο.
2. Στη συνέχεια επιλέγονται ορισμένες προτάσεις (ισχυρισμοί) των οποίων η αλήθεια είναι προφανής και λέγονται αξιώματα ή αιτήματα. Κατά τον Αριστοτέλη στο έργο του «Αναλυτικά Ύστερα» τα αιτήματα είναι υποθέσεις τις οποίες δεχόμαστε χωρίς απόδειξη, μολονότι η αλήθειά τους δεν είναι προφανής.Τα αξιώματα αναφέρονται σε ιδιότητες των αρχικών εννοιών. Για παράδειγμα αξιώματα είναι οι προτάσεις:«Από δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία»«Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε αυτή»«Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και προεκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις χωρίς διακοπές και κενά».
3. Τέλος έχουμε τα θεωρήματα, τα οποία είναι προτάσεις, η αλήθεια των οποίων προκύπτει με μια σειρά συλλογισμών, που στηρίζονται σε ένα ή περισσότερα αξιώματα ή και σε άλλα γνωστά θεωρήματα. Οι κανόνες στους οποίους βασίζονται οι συλλογισμοί αυτοί είναι το αντικείμενο της Λογικής. Η διαδικασία που μας οδηγεί στην αλήθεια ενός θεωρήματος λέγεται απόδειξη. Επίσης έχουμε και τα πορίσματα τα οποία είναι προτάσεις των οποίων η αλήθεια είναι άμεση συνέπεια ενός θεωρήματος.

Όλες οι επιστήμες που κατασκευάζονται με την αξιωματική μέθοδο λέγονται αποδεικτικές ή παραγωγικές επιστήμες.

Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη

Το γνωστότερο και αξιολογότερο έργο του Ευκλείδη είναι τα «Στοιχεία» που επηρέασαν βαθύτατα την ανθρώπινη σκέψη. Πολλοί θεωρούν ότι μετά την Αγία Γραφή και τον Αίσωπο είναι το πιο πολύ διαβασμένο έργο μέχρι τις μέρες μας. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί, αλλά έχουν γίνει πολλές αντιγραφές του και μάλιστα πολλοί μεταγενέστεροι συγγραφείς έκαναν αλλαγές. Μέχρι σήμερα έχουν γίνει πάνω από 1.000 εκδόσεις των Στοιχείων. Στη Δυτική Ευρώπη τα «Στοιχεία» έγιναν γνωστά από τους Άραβες και τους Μαυριτανούς.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το πρώτο αξιωματικό σύστημα στα Μαθηματικά και το μοναδικό μέχρι τα μέσα περίπου του 19ου αιώνα.

Ξεκινώντας με την παραδοχή πέντε αιτημάτων παρουσίασε μία σειρά θεωρημάτων, πολλά από τα οποία ήταν ήδη γνωστά, σε ένα ενιαίο συμπαγές πλαίσιο. Για τη συγγραφή των «Στοιχείων» ο Ευκλείδης είχε προφανώς στη διάθεσή του τα έργα των παλαιότερων μαθηματικών, όπως του Θαλή, του Πυθαγόρα, του Ευδόξου και του Θεαιτήτου. Μεγάλο επίτευγμα επίσης του Ευκλείδη ήταν ότι κατέγραψε και διέδωσε τις μαθηματικές γνώσεις των προγενέστερων και των συγχρόνων του μαθηματικών.

Τα Στοιχεία διαιρούνται σε 13 βιβλία. Το 1^ο βιβλίο των «Στοιχείων» αρχίζει με 23 ορισμούς των βασικών γεωμετρικών εννοιών (σημείο, γραμμή, επιφάνεια, επίπεδο, γωνία, σύνορο, σχήμα). Μερικοί από τους ορισμούς αυτούς είναι οι παρακάτω:

1. Σημείο είναι ότι δεν έχει μέρος.
2. Η γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος.
3. Τα άκρα μιας γραμμής είναι σημεία.
4. Ευθεία είναι η γραμμή, που κείται εξίσου ως προς τα σημεία της. (Ο ορισμός αυτός δεν είναι σαφής. Ο Ευκλείδης ίσως να θεωρεί ότι μια λεπτή βέργα είναι ευθεία, όταν παρατηρώντας την από τη μία άκρη της ως την άλλη δε βλέπουμε σημείο της που να προεξέχει.)
5. Επιφάνεια είναι ό,τι έχει μόνο μήκος και πλάτος.
6. Τα πέρατα της επιφάνειας είναι γραμμές.
7. Επίπεδη επιφάνεια είναι αυτή, που κείται εξίσου ως προς τις ευθείες της. (Ο ορισμός αυτός μας λέει ότι μία επιφάνεια είναι επίπεδη, όταν παρατηρώντας την από όλες τις μεριές δεν ξεχωρίζει καμία από τις ευθείες της.)
8. Επίπεδη γωνία είναι η κλίση, της μιας ως προς την άλλη, δύο γραμμών του ίδιου επιπέδου, που συναντιούνται και δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.
9. Όταν μία ευθεία χαραχθεί πάνω σε άλλη ευθεία και οι εφεξής γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες, η καθεμία από τις ίσες γωνίες είναι ορθή και η πρώτη ευθεία λέγεται κάθετη στη δεύτερη.
10. Παράλληλες είναι οι ευθείες εκείνες, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και, αν τις προεκτείνουμε απεριόριστα και προς τα δύο μέρη, δεν συναντώνται σε κανένα από αυτά. Ο ορισμός αυτός είναι ο 23ος, δηλαδή ο τελευταίος στον κατάλογο.

Ο Ευκλείδης θεμελίωσε τα Στοιχεία του σε πέντε αιτήματα, που είναι τα εξής:

1. Από δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.
2. Ένα ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται απεριόριστα.
3. Ένας κύκλος ορίζεται από ένα σημείο (το κέντρο του) και ένα ευθύγραμμο τμήμα (την ακτίνα του).
4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες.
5. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από μία τρίτη ευθεία σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 2 ορθές, τότε οι ευθείες αυτές τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Το 1899 ο Νταίβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert) απέδειξε ότι το 5ο αίτημα του Ευκλείδη μπορεί να διατυπωθεί (δηλαδή είναι ισοδύναμο) με την πρόταση:

« Από ένα σημείο Α εκτός ευθείας (ε) περνάει μία μόνο ευθεία παράλληλη στην (ε)».

Η αλήθεια της πρότασης αυτής με βάση την εμπειρία μας μπορεί να θεωρηθεί προφανής. Από την αρχαιότητα όμως μέχρι και τα μέσα περίπου του 19ου αιώνα έγιναν πολλές προσπάθειες να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τις άλλες γνωστές προτάσεις της Γεωμετρίας, που όμως ήταν όλες αποτυχημένες. Αποδείχθηκε τελικά ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στο πλαίσιο που έθεσε ο Ευκλείδης για να θεμελιώσει τη Γεωμετρία και για τον λόγο αυτόν χαρακτηρίστηκε ως «Ευκλείδεια Γεωμετρία».

Τον 19ο αιώνα ο Νικολάι Λομπατσέφσκυ (Nikolai Lobatchevsky) (Ρώσος μαθηματικός 1792-1856) αντικατέστησε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη με την πρόταση:

«Από ένα σημείο Α εκτός ευθείας (ε) περνάνε περισσότερες από δύο ευθείες παράλληλες στην (ε)».

Έτσι θεμελίωσε μία άλλου τύπου Γεωμετρία, που λέγεται «Υπερβολική» και περιγράφει χώρους με «παράξενες» ιδιότητες, όπως λ.χ. «το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι μικρότερο από δύο ορθές» κ.ά. .  

Την ίδια περίπου εποχή ο Μπέρνχαρτ Ρίεμαν (Bernhard Riemann) (Γερμανός μαθηματικός 1826-1866) θεμελίωσε και αυτός μία άλλη Γεωμετρία, που λέγεται «Ελλειπτική». Σ’ αυτήν ισχύει η πρόταση:  

 «Από ένα σημείο Α εκτός ευθείας (ε) δεν περνάει καμία ευθεία παράλληλη στην (ε)».

O Αλβέρτος Ανστάιν (Albert Einstein) χρησιμοποιώντας την Ελλειπτική Γεωμετρία μπόρεσε να διατυπώσει τη Θεωρία της Σχετικότητας.

Με βάση τα τρία πρώτα μας αιτήματα μπορούμε να κατασκευάσουμε τα γεωμετρικά σχήματα με κανόνα (δηλαδή μη βαθμολογημένο χάρακα, που μας βοηθάει να χαράσσουμε ευθείες και όχι να κάνουμε μετρήσεις) και διαβήτη.

Ο Ευκλείδης δέχθηκε και μερικές άλλες προτάσεις, που περιγράφουν ιδιότητες ισότητας ή ανισότητας μεγεθών. Οι προτάσεις αυτές αναφέρονται ως Κοινές Έννοιες, και είναι οι εξής:

1. Αυτά που είναι ίσα προς το ίδιο είναι και ίσα μεταξύ τους.
2. Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα, οι ολότητες είναι ίσες (δηλαδή, τα αθροίσματα είναι ίσα).
3. Και, αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, αυτά που υπολείπονται είναι ίσα (δηλαδή, οι διαφορές ίσες).
4. Και αυτά που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο είναι ίσα μεταξύ τους.
5. Και το όλον είναι μεγαλύτερο από το μέρος.

Στα 6 πρώτα βιβλία ο Ευκλείδης ασχολήθηκε με θέματα της Επιπεδομετρίας, δηλαδή τη μελέτη σχημάτων που όλα τους τα σημεία ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Στο 5ο βιβλίο περιλαμβάνεται η θεωρία των λόγων και των αναλογιών, δηλαδή και θέματα με τα οποία ασχολείται η Αριθμητική.

Στα επόμενα τρία βιβλία (7ο, 8ο και 9ο) ανέλυσε τη θεωρία των αριθμών.

Κάποια βασικά θεωρήματα που περιέχονται σε αυτά είναι:

1. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.
2. Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο πρώτων αριθμών και μάλιστα κατά μοναδικό τρόπο.
3. Αν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, με δ ≠ 0, τότε υπάρχουν ακριβώς δύο φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε να ισχύει η ισότητα Δ = δ · π + υ, όπου 0 ≤ υ ‹ δ, γνωστή ως ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.
4. Η μέθοδος εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο φυσικών αριθμών (γνωστή ως αλγόριθμος του Ευκλείδη).

Στο 10^ο βιβλίο ασχολήθηκε με τη μελέτη των ασύμμετρων (άρρητων) αριθμών και στα τελευταία τρία βιβλία ασχολήθηκε με τη Στερεομετρία (Γεωμετρία του χώρου).

Μάλιστα στο τέλος του 13ου βιβλίου του ασχολήθηκε με την κατασκευή των πέντε κανονικών πολυέδρων, δηλαδή του κανονικού τετραέδρου, του κύβου, του κανονικού οκταέδρου, του κανονικού δωδεκαέδρου και του κανονικού εικοσαέδρου (γνωστά ως και Πλατωνικά στερεά), ανέλυσε τις ιδιότητές τους και απέδειξε ότι δεν υπάρχουν άλλα κανονικά πολύεδρα.  

Άλλα έργα του Ευκλείδη

1. «Οπτικά»: Το έργο του αυτό περιέχει τις βασικές προτάσεις της γεωμετρικής οπτικής, που είναι βασισμένες στην υπόθεση του Πλάτωνα, σύμφωνα με την οποία η όραση προκαλείται από ακτίνες που προέρχονται από το μάτι.
2. «Κατοπτρικά»: Το έργο αυτό ασχολείται με τα φαινόμενα της ανάκλασης του φωτός σε επίπεδα κάτοπτρα. Δεν είναι γνήσιο έργο του Ευκλείδη αν και μπορεί να είναι μεταγενέστερη συλλογή εργασιών του.
3. «Φαινόμενα»: Είναι μια πραγματεία κοσμογραφίας, διατυπωμένη με την ίδια αυστηρότητα που είχε εφαρμόσει και στα άλλα έργα του.
4. «Δεδομένα»: Το έργο αυτό ασχολείται με μια κατηγορία προτάσεων. Κάθε πρόταση από αυτές αναφέρεται σε ένα σχήμα, του οποίου δίνονται ορισμένα στοιχεία κατά σχήμα, θέση ή μέγεθος.
5. «Περί διαιρέσεων»: Το ελληνικό πρωτότυπο κείμενο δεν έχει βρεθεί μέχρι σήμερα. Οι πληροφορίες που έχουμε για το έργο αυτό προέρχονται από την αραβική βιβλιογραφία.

Τα έργα «Δεδομένα» και «Περί διαιρέσεων» συμπληρώνουν τα «Στοιχεία» του.  

Επίλογος

Το έργο του Ευκλείδη είναι ορόσημο καθώς μετά τον Ευκλείδη τα Μαθηματικά είναι πλέον ΕΠΙΣΤΗΜΗ!!!

 

Πηγές

1. Ιωάννης Βαρδουλάκης, Χαράλαμπος Καλλιγάς, Νικηφόρος Μαρκάκης, Σπύρος Φερεντίνος, (2016). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου. Έκδοση Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ».
2. Αργυρόπουλος Ηλίας, Βλάμος Παναγιώτης, Κατσούλης Γεώργιος, Μαρκάτης Στυλιανός, Σιδέρης Πολυχρόνης (2015). ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄και Β΄ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Έκδοση Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ».
3. Αραμπατζής Θεόδωρος, Γαβρόγλου Κώστας, Διαλέτης Δημήτρης, Χριστιανίδης Γιάννης, Κανδεράκης Νίκος, Βερνίκος Στέλιος (1999). Ιστορία των επιστημών και της τεχνολογίας Γ΄ Λυκείου. Έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. .
4. Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (1981). Οι Ιστορικές Ρίζες Των Στοιχειωδών Μαθηματικών. Επιστημονικές και Τεχνικές Εκδόσεις Γ.Α. Πνευματικός. Τίτλος πρωτοτύπου: The Istorical Roots of Elementary Mathematics (Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey). Μετάφραση: Άννα Φερεντίνου-Νικολακοπούλου.
5. Συγγραφική ομάδα «Καλώς Κείμενα» (Ευάγγελος Χεκίμογλου, Ευφροσύνη Ρούπα, Αικατερίνη Αναστασίου, Ναυσικά Στεργίου, Πόπη Μητσοπούλου) (2017). 70 ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΠΟΥ ΑΛΛΑΞΑΝ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ. Ειδική έκδοση για την εφημερίδα ΤΑ ΝΕΑ, εκδόσεις ΑΛΤΕΡ ΕΓΚΟ Α.Ε. .

 

Ηλ. Ταχ.: [email protected]