14 Μαρτίου, η Παγκόσμια Ημέρα του π

Η σταθερά τιμή του λόγου αυτού είναι περίπου 3,14 , δηλαδή είναι ο αριθμός π. Η σταθερά π είναι η πρώτη σταθερά που ανακαλύφθηκε. Με απλά λόγια, αν διαιρέσει κανείς την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, δίνεται ως αποτέλεσμα το 3,14. Αυτό ισχύει για όλους τους κύκλους στο Σύμπαν, όποια και αν είναι η περιφέρειά τους.

Προσεγγίσεις του αριθμού π, η ιστορία του

• Οι Βαβυλώνιοι (19ος αιώνας π.Χ.) προσέγγισαν τον λόγο αυτόν με το κλάσμα 25/8 = 3,125.
• Οι Αιγύπτιοι (17ος αιώνας π.Χ.) τον προσέγγισαν με το κλάσμα 256/81 (256:81 = 3,16).

Στην Αίγυπτο στον πάπυρο του Rind (ή πάπυρο του Ahmes) κείμενο του 1800 π.Χ., περιέχεται πρόβλημα προσδιορισμού του εμβαδού κυκλικού αγρού διαμέτρου 9 κετ (khet), όπου κετ η μονάδα μέτρησης μήκους. 

Οι οδηγίες στο πρόβλημα είναι οι εξής:

«Πάρε το 1/9 της διαμέτρου και αφαίρεσέ το από τη διάμετρό του. Τη διαφορά που θα βρεις ύψωσέ την στο τετράγωνο. Το αποτέλεσμα που θα βρεις είναι το εμβαδόν του αγρού». 

Με σύγχρονους συμβολισμούς

όπου ρ η ακτίνα,  δ = 2ρ η διάμετρος του κύκλου και 

Η ιστορία του «π» την αρχαία Ελλάδα

Στην Αρχαία Ελλάδα τα μαθηματικά φθάνουν στο απόγειό τους. Αξιωματικές τιμές για το «π» δεν αρκούν. Ο,τιδήποτε και οποιαδήποτε λύση πρέπει να αποδεικνύεται ή να κατασκευάζεται με τα λιγότερα μηχανικά μέσα (μόνο με κανόνα και διαβήτη).

Πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου

Η διατύπωση του προβλήματος αυτού, που απασχόλησε τα μεγαλύτερα μυαλά της Αρχαιότητας και όχι μόνο, έχει ως εξής: «να κατασκευαστεί τετράγωνο που να έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα δοσμένο κύκλο».

Το πρόβλημα δεν έχει λύση, διότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) ευθύγραμμο τμήμα μήκους ίσου με την τετραγωνική ρίζα του «π».

     • Ο Ιπποκράτης ο Χίος (470 π. Χ.) κατόρθωσε να τετραγωνίσει σχήματα που περικλείονται από κυκλικά τόξα.

(Μηνίσκοι του Ιπποκράτη)

• Ο Αντιφών (430 π. Χ.) υπολόγισε το εμβαδόν κυκλικού δίσκου εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα στον αντίστοιχο κύκλο. Ξεκινώντας από ένα τετράγωνο κατασκεύασε κανονικό 8-γωνο, 16-γωνο, 32-γωνο κ.ο.κ. μέχρι να φθάσει σε κανονικό πολύγωνο του οποίου η περίμετρος προσέγγιζε την περιφέρεια του κύκλου. Έτσι κατάφερε να βρει με μεγάλη ακρίβεια το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

• Η πρώτη προσπάθεια προσέγγισης του λόγου (του κλάσματος δηλαδή) με θεωρητικό τρόπο έγινε από τον Αρχιμήδη (3ος αιώνας π.Χ.)

Ο Αρχιμήδης προσέγγισε το μήκος του κύκλου με τις περιμέτρους εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων. Συγκεκριμένα ξεκίνησε με κανονικά εξάγωνα και διπλασιάζοντας τον αριθμό των πλευρών των πολυγώνων έφθασε στα κανονικά 96-γωνα. 

Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι:

Ο Αρχιμήδης θεώρησε ότι η προσέγγιση αυτή είναι πολύ καλή και σταμάτησε.

Στην εργασία του Αρχιμήδη «Κύκλου μέτρησις», το πρωτότυπο της οποίας δεν βρέθηκε, ο Αρχιμήδης οδηγήθηκε στην προσεγγιστική τιμή 3,1416 χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα με 384 πλευρές.

Την ίδια προσέγγιση ισχυρίστηκαν ότι πέτυχαν και οι Ινδοί, χωρίς όμως να υπάρχουν τεκμήρια για τον ισχυρισμό αυτό.
Για τον λόγο αυτό ο αριθμός L/2ρ=π είναι γνωστός ως σταθερά του Αρχιμήδη. 

Όσοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν μετά τον Αρχιμήδη με τη θεωρητική προσέγγιση του λόγου  L/2ρ , ακολούθησαν το πνεύμα του Αρχιμήδη.

Το π στον Αριστοφάνη

Ο Αριστοφάνης στο έργο του «Όρνιθες» (414 π.Χ.) κάνει μία αναφορά σχετική με τον τετραγωνισμό του κύκλου. Συγκεκριμένα στους στίχους 1001-1009 ο γεωμέτρης και αστρονόμος Μέτων αναφέρει στον Πισθέταιρο ότι θα τετραγωνίσει τον κύκλο και ο Πισθέταιρος εντυπωσιασμένος τον συγκρίνει με τον Θαλή.

• Στην αρχαία Ρώμη, ο αρχιτέκτονας Βιτρούβιος (1ος αιώνας π. Χ.) αναφέρει πηγάδι κυκλικής διατομής με περίμετρο 12+1/2 ποδών και διάμετρο 4 ποδών, οπότε π = 25/8 = 3,12.

• Στην Κίνα ο Λίου Χουί (Liu Hui) με μέθοδο παρόμοια με τον Αρχιμήδη έδωσε την τιμή π = 3,1416 και ο Γουάγκ Φαν (Wang Fan) βρήκε ότι «όταν μια περιφέρεια κύκλου έχει μήκος 142, τότε η διάμετρός του είναι 45», οπότε θα είναι π = 3,156.

• Ο Λούντολφ βαν Τσόιλεν (Ludolph van Ceulen), τον 16ο αιώνα στη Γερμανία και την Ολλανδία, υπολόγισε τα 35 πρώτα ψηφία της δεκαδικής προσέγγισης του π χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα με 2⁶² πλευρές.

• Ο Γουίλλιαμ Σανκς (William Shanks) κάνοντας υπολογισμούς διάρκειας 20 ετών(!) ανακοίνωσε το 1873 τα 707 πρώτα δεκαδικά ψηφία. Όμως το 1945 με τη βοήθεια των πρώτων υπολογιστών ανακαλύφθηκε ότι είχε κάνει λάθος στο 528^ο ψηφίο.

• Το 1706 ο Γουίλλιαμ Τζόουνς (William Jones) στο βιβλίο του «Μία Νέα Εισαγωγή στα Μαθηματικά» συμβόλισε πρώτος τη σταθερά του Αρχιμήδη με το γράμμα π, αρχικό γράμμα της ελληνικής λέξης περιφέρεια.

• Το σύμβολο π όμως καθιερώθηκε και χρησιμοποιείται σήμερα διεθνώς, όταν το χρησιμοποίησε ο Ελβετός Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler) το 1737 στο βιβλίο του «Εισαγωγή στην Απειροστική Ανάλυση». Ο Όιλερ είναι ο μαθηματικός που καθιέρωσε τα περισσότερα από τα σύμβολα, που χρησιμοποιούμε σήμερα στα μαθηματικά.

• Το 1767 ο Γιόχαν Χάϊνριχ Λάμπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα.

• Το 1882 ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν απέδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός αριθμός, δηλαδή δεν είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους ή ρητούς συντελεστές. Η απόδειξη αυτή έδωσε την τελική απάντηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και συγκεκριμένα ότι ο κύκλος δεν τετραγωνίζεται.

Το π και η πυραμίδα της Γκίζας

Η πυραμίδα της Γκίζας ήταν ένα από τα επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου. Εικάζεται πως οι γνώσεις που περιέχονται στο σχέδιο της μεγάλης πυραμίδας μπορεί να μην είναι μόνο των αρχαίων Αιγυπτίων αλλά και άλλων λαών της εποχής με υψηλό πολιτισμό. 

Στην πυραμίδα αυτή λοιπόν, ο αριθμός π εκφράζεται ως εξής: Το διπλάσιο του λόγου του μήκους μιας πλευράς της βάσης της προς το ύψος της είναι 3,14285. (Οι Αιγύπτιοι εξέφρασαν το π, εν προκειμένω, με το κλάσμα 22/7 = 3,14285.)

Το π και η Βίβλος

Στο θυσιαστήριο που είχε κατασκευαστεί στον ναό του Σολομώντα «ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο είναι ίσος με τριάντα δια δέκα πήχεις», δηλαδή 3.

Παλαιά Διαθήκη Γ΄ Βασιλειών 7,10

• Οι Αλεξάντερ Τζ. Γι (Alexander J. Yee) και Σιγκέρου Κόντο (Shigeru Kondo) υπολόγισαν 5 τρισεκατομμύρια ψηφία του π σε 90 ημέρες, αρχίζοντας στις 4 του Μαΐου του 2010. Αυτός είναι ένας διαγωνισμός που μάλλον θα συνεχιστεί για πολύ ακόμα…

• Ο καθηγητής των Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών Νικόλαος Ι. Χατζηδάκης επινόησε το παρακάτω τετράστιχο για την εύκολη απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων της δεκαδικής προσέγγισης του π.
Ο αριθμός των γραμμάτων κάθε λέξης στη σειρά συμπίπτει με το αντίστοιχο ψηφίο.

Ἀεί ὁ Θεός ὁ μέγας γεωμετρεῖ
τό κύκλου μῆκος ἳνα ὁρίσῃ διαμέτρῳ
παρήγαγεν ἀριθμόν ἀπέραντον
καί ὃν φεῦ! οὐδέποτε ὃλον θνητοί θα εὒρωσι.

Αντιστοιχεί στην παρακάτω δεκαδική προσέγγιση του π   3,1415926535897932384626

Η φράση «Ἀεί ὁ θεός ὁ μέγας γεωμετρεῖ» ανήκει στον Πλάτωνα.

Παρασκευή Αρώνη, 2008. Διπλωματική εργασία “Η ιστορία του π”, Διαπανεπιστημιακό – Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών “ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ”, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών και Πανεπιστήμιο Κύπρου. 

Νίκος Καστάνης, π≈3,14 Οι ιστορικές του ρίζες.

Παναγιώτης Θεοδωρόπουλος 2015. «Ο αριθμός π ή η σταθερά του Αρχιμήδη».

Steve Connor 2006. Η πολυτάραχη ζωή της σταθεράς π, The independent, Μαθηματικά ΒΗΜΑ Science, Κυριακή 19 Μαρτίου 2006.

Ηλ. Ταχ.: [email protected]

Κωνσταντίνος Ουρανός

Δάσκαλος

Ιωάννα Ασυλογιστάκη

Δασκάλα

Τάσσος Κυρίκος

Μαθηματικός

Χριστίνα-Μαρίνα Κακλαμάνη

Νηπιαγωγός